Теорема Геделя о неполноте чрезмерно мифологизирована. Люди говорят о ней, как о фундаментальном ограничении на познание, делают выводы, идущие далеко за пределы того, что она на самом деле говорит. Количество неверных тейков по ее поводу достаточно, чтобы мне хотелось пояснить.
Теорема Геделя о неполноте (обе) – суть формализация идеи, которая должна быть понятна и не особо разбирающемуся в математике человеку, если он хотя бы читал мемы по философии.
Любой язык суть последовательность черточек, смысл в него задается интерпретатором. Если передо мной лежит книга на китайском, я не могу прочитать ее вообще. Я могу получить учебник китайского, который поможет мне расшифровать книгу – но этот учебник сам по себе должен быть написан на каком-то другом языке. Это бесконечный регресс, текст на языке не может содержать собственного интерпретатора.
- Без интерпретатора в виде медсестры, этот больной не получит свою дозу /̴̨̱̹͆́̈́̂̄̕/̴̪̘̘͗̿͆̒̇͠/̸̱̥̗̦͒͊͒/̸̯̤̖͎̒͘/̷̫̝̾/̸̬̘̮͕̳̗̉/̴̢͚̗̘̅͒̅͆̈́́/̵̮̰͇̅̇̓͐̓͘/̵͕͇̺͉͈̊̽͐́͝͝зепама, и виноват в этом будет русский язык
Ты можешь пытаться искать закономерности внутри текста, расшифровывать как рукопись Войнича, и может ты заметишь в нем внутреннюю структуру – но даже если эта структура есть, без хоть какой-то привязки к явлению в реальном мире это просто абстракция. Ты можешь понять, что в тексте X Yает Z, и может, зная контекст, где ты нашел книгу, ты сможешь догадаться, что это руководство для мясника, и Х = “печень”, Y = “находится в”, Z = “живот”. Но такой же текст мог значить “джек построил дом”, если придать черточкам другой смысл. Или он мог быть экзотическим кодированием для файла видео, который, если передать в правильный плеер, покажет тебе рикролл – а те закономерности, что ты заметил, то красная селедка, на самом деле это просто кодек такой странный. Сделать такие черточки, которые сами по себе однозначно говорят, о чем они говорят, которые содержат смысл сам по себе без наличия хоть какого-то интерпретатора на мета-уровне – невозможно.
Математику часто называют “универсальным языком”, которым можно описать и проанализировать что угодно до любой необходимой тебе точности. В истории математики был такой постыдный в ретроспективе период, когда некоторым пришло в голову, что математика сможет этого парадокса избежать – что можно составить такой формальный математический язык, который будет содержать собственный мета-интерпретатор, черточки, которые сами объясняют, что они значат, кодируют не просто структуру, а смысл. Конечная утопическая цель была сделать так, что истинность любого высказывания можно будет проверить, вообще не глядя на реальность, просто синтаксическими преобразованиями самого высказывания. Гильберт сотоварищи честно пытались построить такой язык, но все что-то не получалось.
Гедель просто показал – нет, оно так не работает, чуда нет. Ты не можешь иметь язык, содержащий собственный мета-интерпретатор, даже со всей силой математики. Красивая теорема на бумаге суть просто черточки – чтобы она начала что-то значить в реальном мире, надо ее хоть как-то к реальному миру привязать, сказать, что именно значат все эти страшные слова и символы. Математика может быть произвольно могущественной, но ничто не может быть бесконечно могущественным.
В этом вся теорема. Насколько она показывает пределы нашего познания – ну, как по мне, особо никак. По поводу Бога как ультимативных гуслей-самоинтерпретаторов можно разве что поприкалываться.
Сейчас мы видим проявление этой проблемы с компьютерными системами доказательства теорем. Сам по себе компьютер только в рамках своей формальной системы не может открыть ничего интересного или полезного – потому что у него нет никакой возможности понять, почему теорема Пифагора чем-то интереснее, чем теорема “вот это число с миллионом цифр, плюс вот это число с миллионом цифр, равно вот это число с миллионом цифр”. С его точки зрения это одинаково интересные черточки. А чтобы начать понимать, что релевантно реальному миру – надо, чтобы он вышел из своей коробки, принял красную таблетку и начал смотреть на реальный мир. Иначе никак.